2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 실전 모의고사 4회 해설집

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 4회 - [문제 1] 예시답안 (1/2)

2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안

\(s = x - t\)로 치환하면 \(dt = -ds\)이고, \(t=0\)일 때 \(s=x\), \(t=x\)일 때 \(s=0\)이므로

\[f(x) = \int_x^0 (x-s)s e^s (-1) \, ds = \int_0^x (xs - s^2)e^s \, ds = x \int_0^x s e^s \, ds - \int_0^x s^2 e^s \, ds\]

\(f(x)\)를 \(x\)에 대하여 미분하면

\[f'(x) = \int_0^x s e^s \, ds + x^2 e^x - x^2 e^x = \int_0^x s e^s \, ds\]

한 번 더 미분하면 \(f''(x) = x e^x\)이다. \(e^x > 0\)이므로 \(x < 0\)일 때 \(f''(x) < 0\)이고, \(x > 0\)일 때 \(f''(x) > 0\)이다.

따라서 열린구간 \((-\infty, 0)\)에서 위로 볼록하고, 열린구간 \((0, \infty)\)에서 아래로 볼록하다. \(x=0\)의 좌우에서 \(f''(x)\)의 부호가 바뀌고 \(f(0)=0\)이므로 변곡점의 좌표는 \((0, 0)\)이다.

답: \((-\infty, 0)\)에서 위로 볼록, \((0, \infty)\)에서 아래로 볼록, 변곡점 \((0, 0)\)

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안 (1/2)

부분적분법을 적용하여 \(f(x)\)와 \(f'(x)\)를 계산하면 다음과 같다:

\[\int_0^x s e^s \, ds = [s e^s]_0^x - \int_0^x e^s \, ds = x e^x - e^x + 1 \implies f'(x) = x e^x - e^x + 1\]

\[\int_0^x s^2 e^s \, ds = [s^2 e^s]_0^x - 2\int_0^x s e^s \, ds = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x + 1) = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x - 2\]

따라서 \(f(x) = x(x e^x - e^x + 1) - (x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x - 2) = x e^x - 2e^x + x + 2\)이다.

점 \((0, 0)\)에서 접선의 기울기는 \(f'(0) = 0\)이므로 \(\ell_1: y = 0\)이다.

점 \((2, f(2))\)에서 \(f(2) = 4\), \(f'(2) = e^2 + 1\)이므로 접선 \(\ell_2\)의 방정식은 \(y = (e^2 + 1)x - 2(e^2 - 1)\)이다.

\(f(x) - \ell_2(x) = (x-2)(e^x - e^2) \ge 0\)이므로 곡선 \(y=f(x)\)는 접선 \(\ell_2\)보다 항상 위쪽에 위치한다.

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 4회 - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)

2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안 (2/2)

곡선 \(y=f(x)\)와 \(x\)축 및 \(x=2\)로 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같다:

\[S_1 + S_2 = \int_0^2 f(x) \, dx = \int_0^2 (x e^x - 2e^x + x + 2) \, dx = \left[ x e^x - 3e^x + \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_0^2 = 9 - e^2\]

\(\ell_2\)의 \(x\)절편은 \(\frac{2(e^2-1)}{e^2+1}\)이므로 직각삼각형 \(S_2\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \left(2 - \frac{2(e^2-1)}{e^2+1}\right) \times 4 = \frac{8}{e^2+1}\)이다.

따라서 구하는 넓이 \(S_1\)은 다음과 같다:

\[S_1 = (S_1 + S_2) - S_2 = 9 - e^2 - \frac{8}{e^2+1} = \frac{(9-e^2)(e^2+1) - 8}{e^2+1} = \mathbf{\frac{-e^4 + 8e^2 + 1}{e^2+1}}\]

답: \(\frac{-e^4 + 8e^2 + 1}{e^2+1}\)

▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안

제시문 조건 양변을 \(x\)에 대해 미분하면:

\[-e^{-x} \int_0^x g'(t) \, dt + e^{-x}g'(x) = e^{-x}g'(x) - \sin(2\pi x) - 2\pi x \cos(2\pi x)\]

\(g(0)=0\)이므로 \(-e^{-x}g(x) = -\sin(2\pi x) - 2\pi x \cos(2\pi x) \implies g(x) = e^x [\sin(2\pi x) + 2\pi x \cos(2\pi x)]\)이다.

모든 양의 실수 \(x\)에 대해 \(\sin(2\pi x) \le 1, \cos(2\pi x) \le 1\)이므로 \(g(x) \le e^x(1 + 2\pi x)\)이다. 따라서

\[\int_0^{2023} g(x) \, dx \le \int_0^{2023} e^x(1 + 2\pi x) \, dx = [e^x]_0^{2023} + 2\pi [x e^x - e^x]_0^{2023} = 4046\pi e^{2023} + (1-2\pi)(e^{2023}-1)\]

\(1 - 2\pi < 0\)이고 \(e^{2023}-1 > 0\)이므로 \((1-2\pi)(e^{2023}-1) < 0\)이다. 그러므로 \(\int_0^{2023} g(x) \, dx < 4046\pi e^{2023}\)이 성립한다. [증명 완료]

[문제 1] 채점 기준표

하위 문항	세부 평가 요소 및 채점 기준	배점
1-1	이계도함수 \(f''(x) = x e^x\)를 정확히 유도하였는가?	10점
1-1	\(f''(x)\)의 부호로부터 오목·볼록 구간을 판정하고 변곡점 \((0, 0)\)을 구하였는가?	10점
1-2	접선의 방정식 \(\ell_1: y=0, \ell_2: y=(e^2+1)x - 2(e^2-1)\)을 정확히 구하였는가?	10점
	곡선 \(y=f(x)\)가 항상 접선 \(\ell_2\)보다 위쪽에 위치함을 논증하였는가?	10점
	정적분 계산을 통해 넓이 \(S_1 = \frac{-e^4 + 8e^2 + 1}{e^2+1}\)을 도출하였는가?	20점
1-3	양변 미분을 통해 함수 \(g(x) = e^x [\sin(2\pi x) + 2\pi x \cos(2\pi x)]\)를 구하였는가?	20점
1-3	삼각함수의 상계를 이용하여 적분 부등식을 엄밀하게 증명하였는가?	20점

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 4회 - [문제 2] 예시답안 (1/2)

2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안

\(\overline{AP} = t\) \(\left(0 \le t \le \frac{1}{2}\right)\)라 두면, 직각삼각형 피타고라스 정리에 의해

\[\overline{PB} = \sqrt{t^2 + 1}, \quad \overline{PH} = \sqrt{(1-t)^2 + 1} = \sqrt{t^2 - 2t + 2}, \quad \overline{BH} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\]

\(\angle BPH = \alpha\)라 하면 코사인법칙에 의해

\[\cos\alpha = \frac{\overline{PB}^2 + \overline{PH}^2 - \overline{BH}^2}{2\overline{PB}\cdot\overline{PH}} = \frac{(t^2+1) + (t^2-2t+2) - 3}{2\sqrt{t^2+1}\sqrt{t^2-2t+2}} = \frac{t^2-t}{\sqrt{t^2+1}\sqrt{t^2-2t+2}}\]

\(\triangle PBH\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}\overline{PB}\cdot\overline{PH}\sin\alpha = \frac{1}{2}\sqrt{(t^2+1)(t^2-2t+2) - (t^2-t)^2} = \sqrt{\frac{t^2-t+1}{2}}\)이다.

\(\sqrt{\frac{t^2-t+1}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\)에서 \(t^2 - t + 1 = \frac{7}{8} \implies 8t^2 - 8t + 1 = 0\)이다. \(0 \le t \le \frac{1}{2}\)이므로 \(t = \frac{2-\sqrt{2}}{4}\)이다.

점 \(P, B, H\)의 평면 \(EFGH\) 위로의 정사영을 각각 \(P', B', H'\)라 하면, \(\overline{P'H'} = \overline{PD} = 1 - t\), 밑변에 수직인 높이는 \(1\)이다.

따라서 정사영의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times 1 \times (1-t) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{2-\sqrt{2}}{4}\right) = \mathbf{\frac{2+\sqrt{2}}{8}}\)이다. 답: \(\frac{2+\sqrt{2}}{8}\)

▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안

\(A_{n+1} - A_n\)은 \(x, y, z\)가 삼각형의 세 변의 길이가 되면서 세 수 중 최댓값이 \(n+1\)인 순서쌍 \((x, y, z)\)의 개수와 같다.

(1) 세 수 중 하나만 \(n+1\)인 경우 (예: \(x = n+1, y \le n, z \le n\)):
삼각형 결정조건 \(y + z > n + 1 \implies z > n + 1 - y\)이다. \(y=1\)이면 가능한 \(z\)가 없으며, \(2 \le y \le n\)인 각 \(y\)에 대해 \(z\)는 \(n - (n+1-y) = y-1\)개 존재한다. 따라서 경우의 수는 \(\sum_{y=2}^n (y-1) = \frac{n(n-1)}{2}\)이고, 세 변의 대칭성에 의해 \(3 \times \frac{n(n-1)}{2}\)가지이다.

(2) 두 수가 \(n+1\)인 경우 (예: \(x = y = n+1, z \le n\)):
\(z + (n+1) > n+1\)이 항상 성립하므로 \(z\)는 \(1\)부터 \(n\)까지 \(n\)가지가 가능하다. 대칭성에 의해 \(3 \times n = 3n\)가지이다.

(3) 세 수가 모두 \(n+1\)인 경우: \((n+1, n+1, n+1)\)의 \(1\)가지이다.

따라서 \(A_{n+1} - A_n = \frac{3n(n-1)}{2} + 3n + 1 = \mathbf{\frac{3n^2 + 3n + 2}{2}}\)이다. 답: \(\frac{3n^2 + 3n + 2}{2}\)

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 4회 - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)

2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 2-3] 해설 및 모범 답안

이항계수의 대칭성 \({}_nC_k = {}_nC_{n-k}\)에 의해 다음과 같다:

\[\sum_{k=0}^{n/3} {}_nC_k = \sum_{k=2n/3}^n {}_nC_k\]

모든 \(x > 1\)에 대하여 \(k \ge \frac{2n}{3}\)일 때 \(x^{k - 2n/3} \ge 1\)이 성립하므로

\[\sum_{k=2n/3}^n {}_nC_k \le \sum_{k=2n/3}^n {}_nC_k x^{k - 2n/3} \le \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^{k - 2n/3} = x^{-2n/3} \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^k = x^{-2n/3}(1+x)^n = [x^{-2/3}(1+x)]^n\]

함수 \(f(x) = x^{-2/3}(x+1)\)의 도함수는 \(f'(x) = -\frac{2}{3}x^{-5/3}(x+1) + x^{-2/3} = \frac{1}{3}x^{-5/3}(x-2)\)이므로 \(x=2\)에서 극소이자 최솟값 \(f(2) = 2^{-2/3}(3) = \frac{3}{\sqrt[3]{4}} \approx 1.8899 < 1.9\)를 갖는다.

따라서 \(\sum_{k=0}^{n/3} {}_nC_k \le [f(2)]^n < 1.9^n\)이 성립한다. [증명 완료]

[문제 2] 채점 기준표

하위 문항	세부 평가 요소 및 채점 기준	배점
2-1	코사인법칙과 넓이 공식을 통해 \(\triangle BPH\)의 넓이 식을 세우고 \(t = \frac{2-\sqrt{2}}{4}\)를 구했는가?	20점
2-1	정사영의 성질을 이용하여 정사영의 넓이 \(\frac{2+\sqrt{2}}{8}\)를 정확히 구했는가?	10점
2-2	\(A_{n+1} - A_n\)의 의미를 최댓값 기준으로 나누어 경우의 수를 체계적으로 분류하였는가?	20점
2-2	각 경우를 합산하여 \(A_{n+1} - A_n = \frac{3n^2+3n+2}{2}\)를 정확하게 유도하였는가?	10점
2-3	이항계수의 대칭성 및 이항정리를 통해 부분합과 \([f(x)]^n\) 사이의 부등식을 도출하였는가?	20점
2-3	함수 \(f(x)\)의 최솟값 \(f(2) < 1.9\)를 대입하여 부등식 \(\sum_{k=0}^{n/3} {}_nC_k < 1.9^n\)을 증명하였는가?	20점